反向传播算法（Backpropagation Algorithm，简称BP算法）是深度学习的重要思想基础，对于初学者来说也是必须要掌握的基础知识！本文希望以一个清晰的脉络和详细的说明，来让读者彻底明白BP算法的原理和计算过程。
全文分为上下两篇，上篇主要介绍BP算法的原理（即公式的推导），介绍完原理之后，我们会将一些具体的数据带入一个简单的三层神经网络中，去完整的体验一遍BP算法的计算过程；下篇是一个项目实战，我们将带着读者一起亲手实现一个BP神经网络（不适用任何第三方的深度学习框架）来解决一个具体的问题。
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1.BP算法的推导
图1 一个简单的三层神经网络
图1所示是一个简单的三层（两个隐藏层，一个输出层）神经网络结构，假设我们使用这个神经网络来解决二分类问题，我们给这个网络一个输入样本 ，通过前向运算得到输出 。输出值 的值域为 ，例如 的值越接近0，代表该样本是“0”类的可能性越大，反之是“1”类的可能性大。
1.1前向传播的计算
为了便于理解后续的内容，我们需要先搞清楚前向传播的计算过程，以图1所示的内容为例：
输入的样本为：
第一层网络的参数为：
第二层网络的参数为：
第三层网络的参数为：
1.1.1第一层隐藏层的计算
图2 计算第一层隐藏层
1.1.2第二层隐藏层的计算
图3 计算第二层隐藏层
1.1.3输出层的计算
图4 计算输出层
即：
单纯的公式推导看起来有些枯燥，下面我们将实际的数据带入图1所示的神经网络中，完整的计算一遍。
2.图解BP算法
图5 图解BP算法
我们依然使用如图5所示的简单的神经网络，其中所有参数的初始值如下：
输入的样本为（假设其真实类标为“1”）：
第一层网络的参数为：
第二层网络的参数为：
第三层网络的参数为：
2.1前向传播
我们首先初始化神经网络的参数，计算第一层神经元：
2.2误差反向传播
接着计算第二层隐藏层的误差项，根据误差项的计算公式有：
最后是计算第一层隐藏层的误差项：
2.3更新参数
上一小节中我们已经计算出了每一层的误差项，现在我们要利用每一层的误差项和梯度来更新每一层的参数，权重W和偏置b的更新公式如下：
通常权重W的更新会加上一个正则化项来避免过拟合，这里为了简化计算，我们省去了正则化项。上式中的 是学习率，我们设其值为0.1。参数更新的计算相对简单，每一层的计算方式都相同，因此本文仅演示第一层隐藏层的参数更新：
3.小结
至此，我们已经完整介绍了BP算法的原理，并使用具体的数值做了计算。在下篇中，我们将带着读者一起亲手实现一个BP神经网络（不适用任何第三方的深度学习框架），敬请期待！有任何疑问，欢迎加入我们一起交流！
